Se usarmos, para esse caso que
y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(y) + 5 overset(˙)(y) = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 5 lambda e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda) = 0 -> lambda^2 + 5 lambda = 0 -> lambda (lambda + 5) = 0 -> lambda = 0 e lambda = - 5
Passo 2
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
y
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 != lambda_2
então podemos reescrever
y
como sendo:
y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)
Para o nosso caso:
lambda_1 = 0 e lambda_2 = - 5
Assim, substituindo os valores de
lambda_1 e lambda_2
:
y (t) = [A e^(0 t) + B e^(- 5 t)] = A + B e^(- 5 t)