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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1h

Resolva a equação (overset(˙)(y) = (d y)/(d t) e overset(¨)(y) = (d^2 y)/(d t^2))

h ) (d^2 y)/(d t^2) + (5 d y)/(d t) = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) + 5 overset(˙)(y) = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 5 lambda e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 5 lambda) = 0 -> lambda^2 + 5 lambda = 0 -> lambda (lambda + 5) = 0 -> lambda = 0 e lambda = - 5

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever y como sendo:

y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 0 e lambda_2 = - 5

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

y (t) = [A e^(0 t) + B e^(- 5 t)] = A + B e^(- 5 t)

Resposta

x (t) = A + B e^(- 5 t)

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