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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2b

Determine a solução:

b ) overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + 2 x = 0 , x (0) = - 1 e overset(˙)(x) (0) = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + 2 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 2 lambda e^(lambda t) + 2 lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0 -> lambda^2 + 2 lambda + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 2 e c = 2 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = - 1 +- (sqrt(- 4))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

- 1 +- (sqrt(4 i^2))/(2) = - 1 +- (sqrt(( 2 i )^2))/(2) = - 1 +- (2)/(2) i = - 1 +- i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = - 1 e beta = 1

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(- 1 t) [A cos 1 t + B sin 1 t] = e^(- t) [A cos t + B sin t]

Passo 4

Agora que temos x (t) podemos achar os valores de A e B usando x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o overset(˙)(x) (t) .

overset(˙)(x) (t) = (d (x (t)))/(d t) = (d (e^(- t) xx [A cos t + B sin t]))/(d t) =

= - 1 e^(- t) [A cos t + B sin t] + e^(- t) [- A sin t + B cos t] =

= e^(- t) [- (A cos t + B sin t) + (B cos t - A sin t)] = e^(- t) [cos t (B - A) + sin t (- A - B)]

Ou seja, overset(˙)(x) (t) = e^(- t) [cos t (B - A) + sin t (- A - B)]

Passo 5

Substituindo o 0 em x (t) e overset(˙)(x) ( t ) , teremos:

x (0) = e^(- t) xx [A cos t + B sin t] = e^(- 0) [A cos 0 + B sin 0] = A xx 1 + B xx 0 = A -> A = - 1

overset(˙)(x) (0) = e^(- t) [cos t (B - A) + sin t (- A - B)] = e^(- 0) [cos 0 (B - A) + sin t (- A - B)]

= 1 xx (B - A) + 0 xx (- A - B) = B - A -> B - A = 0 -> B = A -> B = - 1

Substituindo em x (t) :

x (t) = e^(- t) xx [- 1 cos t - 1 sin t] = - e^(- t) xx [cos t + sin t]

Resposta

x (t) = - e^(- t) xx [cos t + sin t]

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4. Encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes cuja solução geral seja:a) k 1 + k 2 t e - 4 t b) k 1 e 3 t + k 2 e - 3 t c) k 1 e 2 t s e n4 t + k 2 e 2 t cos ⁡ 4 t .
1. Encontrar a solução geral de cada um das equações diferenciais:a) y ' ' + y ' - 2 y = 0 b) 8 y ' ' + 14 y ' - 15 y = 0 c) y ' ' + 4 y = 0 d) 2 y ' ' - 5 3 y ' + 6 y = 0 e) 3 y ' ' - 5 y ' + 2 y = 0
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2. Determinar a solução da equação diferencial que satisfaz as condições indicadas:a) y ' ' + 2 y = 0 y 0 = 2 y ' 0 = 2 2 ; b) 4 y ' ' - 12 y ' + 9 y = 0 y 0 = 1 y ' 0 = 7 2 ; c) y ' ' - 3 y ' + 2 y =