Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) + 2 overset(˙)(x) + 2 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 2 lambda e^(lambda t) + 2 lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0 -> lambda^2 + 2 lambda + 2 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 2 e c = 2
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = - 1 +- (sqrt(- 4))/(2)
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que
i^2 = - 1
:
- 1 +- (sqrt(4 i^2))/(2) = - 1 +- (sqrt(( 2 i )^2))/(2) = - 1 +- (2)/(2) i = - 1 +- i
Passo 3
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 e lambda_2
são números complexos podemos afirmar que:
x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)
Lembrando que:
lambda = alpha +- beta i
Para o nosso caso:
alpha = - 1 e beta = 1
Assim, substituindo os valores de
alpha e beta
:
x (t) = e^(- 1 t) [A cos 1 t + B sin 1 t] = e^(- t) [A cos t + B sin t]
Passo 4
Agora que temos
x (t)
podemos achar os valores de
A e B
usando
x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 )
.
Para isso precisamos achar o
overset(˙)(x) (t)
.
overset(˙)(x) (t) = (d (x (t)))/(d t) = (d (e^(- t) xx [A cos t + B sin t]))/(d t) =
= - 1 e^(- t) [A cos t + B sin t] + e^(- t) [- A sin t + B cos t]
=
= e^(- t) [- (A cos t + B sin t) + (B cos t - A sin t)] = e^(- t) [cos t (B - A) + sin t (- A - B)]
Ou seja,
overset(˙)(x) (t) = e^(- t) [cos t (B - A) + sin t (- A - B)]
Passo 5
Substituindo o
0
em
x (t) e overset(˙)(x) ( t )
, teremos:
x (0) = e^(- t) xx [A cos t + B sin t] = e^(- 0) [A cos 0 + B sin 0] = A xx 1 + B xx 0 = A -> A = - 1
overset(˙)(x) (0) = e^(- t) [cos t (B - A) + sin t (- A - B)] = e^(- 0) [cos 0 (B - A) + sin t (- A - B)]
= 1 xx (B - A) + 0 xx (- A - B) = B - A -> B - A = 0 -> B = A -> B = - 1
Substituindo em
x (t) :
x (t) = e^(- t) xx [- 1 cos t - 1 sin t] = - e^(- t) xx [cos t + sin t]