Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) - 5 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 5 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 5) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 - 5) = 0 -> lambda^2 - 5 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 0 e c = - 5
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (- 5)))/(2 (1)) = +- (sqrt(20))/(2) = +- (sqrt(5 (2)^2))/(2) = +- (2 sqrt(5))/(2) = +- sqrt(5)
Passo 2
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 != lambda_2
então podemos reescrever
x
como sendo:
x (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)
Para o nosso caso:
lambda_1 = sqrt(5) e lambda_2 = - sqrt(5)
Assim, substituindo os valores de
lambda_1 e lambda_2
:
x (t) = [A e^(sqrt(5) t) + B e^(- sqrt(5) t)]