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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1d

Resolva a equação (overset(˙)(x) = (d x)/(d t) e overset(¨)(x) = (d^2 x)/(d t^2))

d ) (d^2 x)/(d t^2) - 5 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) - 5 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 5 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 5) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 5) = 0 -> lambda^2 - 5 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = - 5 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (- 5)))/(2 (1)) = +- (sqrt(20))/(2) = +- (sqrt(5 (2)^2))/(2) = +- (2 sqrt(5))/(2) = +- sqrt(5)

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever x como sendo:

x (t) = [A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = sqrt(5) e lambda_2 = - sqrt(5)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = [A e^(sqrt(5) t) + B e^(- sqrt(5) t)]

Resposta

x (t) = [A e^(sqrt(5) t) + B e^(- sqrt(5) t)]

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