5. a) Resolva a equação (9) .

b) Determine o valor de c na equação (10) se P(0) = P₀ .

Passo 1

a) A equação 9 é a seguinte, galera:

d P d t = P a - b . ln ⁡ P

Dá para resolvermos essa equação utilizando o método de separação de variáveis, saca só:

d P P a - b . ln ⁡ P = d t

Agora basta integrarmos ambos os lados, saca só:

∫ d P P a - b . ln ⁡ P = ∫ d t

Show!

Passo 2

A primeira integral é a seguinte:

∫ d P P a - b . ln ⁡ P

Para resolve-la podemos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = a - b . ln ⁡ P

d u = - b P d P

Substituindo, teremos:

- 1 b ∫ d u u = - 1 b ln ⁡ u

Voltando para P :

∫ d P P a - b . ln ⁡ P = - 1 b ln ⁡ a - b . ln ⁡ P + c 1

Já a segunda integral tem um valor tranquilo, se liga:

∫ d t = t + c 2

Beleza, resolvemos as integrais!

Passo 3

Agora que resolvemos as integrais, vamos junta-las em um só resultado:

- 1 b ln ⁡ a - b . ln ⁡ P + c 1 = t + c 2

ln ⁡ a - b . ln ⁡ P = - b t + c

Simplificando:

k e - b t = a - b . ln ⁡ P

ln ⁡ P = k e - b t a - b

∴ P t = e a b e - k e - b t

E essa é a nossa solução! 😉

Passo 4

b) Fazendo P 0 = P 0 , teremos:

P 0 = e a b e - k

Aplicando l n em ambos os lados:

ln ⁡ P 0 = - k + a b

∴ k = - ln ⁡ P 0 + a b  

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

a) P t = e a b e - k e - b t

b) k = - ln ⁡ P 0 + a b

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