Enunciado

5. a) Resolva a equação 9 .

b) Determine o valor de c na equação 10 se P 0 = P 0 .

Passo 1

a) A equação 9 é a seguinte, galera:

d P d t = P a - b . ln ⁡ P

Dá para resolvermos essa equação utilizando o método de separação de variáveis, saca só:

d P P a - b . ln ⁡ P = d t

Agora basta integrarmos ambos os lados, saca só:

∫ d P P a - b . ln ⁡ P = ∫ d t

Show!

Passo 2

A primeira integral é a seguinte:

∫ d P P a - b . ln ⁡ P

Para resolve-la podemos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = a - b . ln ⁡ P

d u = - b P d P

Substituindo, teremos:

- 1 b ∫ d u u = - 1 b ln ⁡ u

Voltando para P :

∫ d P P a - b . ln ⁡ P = - 1 b ln ⁡ a - b . ln ⁡ P + c 1

Já a segunda integral tem um valor tranquilo, se liga:

∫ d t = t + c 2

Beleza, resolvemos as integrais!

Passo 3

Agora que resolvemos as integrais, vamos junta-las em um só resultado:

- 1 b ln ⁡ a - b . ln ⁡ P + c 1 = t + c 2

ln ⁡ a - b . ln ⁡ P = - b t + c

Simplificando:

k e - b t = a - b . ln ⁡ P

ln ⁡ P = k e - b t a - b

∴ P t = e a b e - k e - b t

E essa é a nossa solução! 😉

Passo 4

b) Fazendo P 0 = P 0 , teremos:

P 0 = e a b e - k

Aplicando l n em ambos os lados:

ln ⁡ P 0 = - k + a b

∴ k = - ln ⁡ P 0 + a b  

E está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

a) P t = e a b e - k e - b t

b) k = - ln ⁡ P 0 + a b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A altura h da água que está fluindo através de um orifício no fundo de um tanque cilíndrico é dada por: d h d t = - A 0 A w 2 g h , g = 32 . m s 2 Em que A w e A 0 são as áreas das seções transversais
Em uma reação química de terceira ordem, a quantidade de gramas X de um composto obtido pela combinação de três outros compostos é governada pela equação: d X d t = k α - X β - X γ - X Resolva essa eq
Obtenha uma solução para a equação: d X d t = k α - X β - X Que governa as reações de segunda ordem nos dois casos: α ≠ β e α = β .
O número de pessoas N t em uma comunidade que são expostas a um anúncio em particular é dado pela equação logística. Inicialmente N 0 = 500 , e é observado que N 1 = 1000 . Está previsto que o número
O número de supermercados C t no país que estão usando um sistema computadorizado é descrito pelo problema de valor inicial: d C d t = C 1 - 0,0005 C , C 0 = 1 Em que t0 . Quantos supermercados estarã