Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 1
O número de supermercados no país que estão usando um sistema computadorizado é descrito pelo problema de valor inicial:
Em que . Quantos supermercados estarão usando sistemas computadorizados quando ? Quantas companhias estarão adotando esse novo procedimento depois de um longo período de tempo?
Passo 1
Então galeris, a equação que nos foi dada é a seguinte:
Para resolvermos essa equação podemos utilizar o método de separação de variáveis, saca só:
Simplificando o lado esquerdo, teremos:
E agora basta integrarmos ambos os lados e resolver as integrais, então vamo que vamo!
Passo 2
Integrando, teremos:
Para o lado esquerdo da nossa expressão, teremos:
E para o lado direito, teremos:
Juntando os resultados, teremos:
Unindo as constantes:
Simplificando:
Show! Encontramos uma expressão para ! O enunciado também nos dá uma condição inicial , então se aplicarmos essa condição, teremos:
Substituindo no nosso resultado:
Passo 3
Agora que encontramos a expressão para o enunciado nos pede mais algumas coisas. A primeira é quantos supermercados estarão usando sistemas computadorizados quando ? Aplicando , teremos:
A segunda pergunta é quantas companhias estarão adotando esse novo procedimento depois de um longo período de tempo? Para , temos que:
E está aí nossa resposta! 😉
Resposta
Para , temos:
Para , temos: