Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 2
O número de pessoas em uma comunidade que são expostas a um anúncio em particular é dado pela equação logística. Inicialmente , e é observado que Está previsto que o número máximo de pessoas na comunidade que verão o anúncio será . Determine em qualquer tempo.
Passo 1
Então pessoal, aqui temos uma situação que nos obriga a utilizar a equação logística, conforme aprendemos na seção em questão. A equação logística é a seguinte:
No nosso caso, ao invés de , temos , então:
Então o que temos que fazer é resolver essa equação diferencial!
Passo 2
Manipulando nossa expressão, teremos:
E agora basta integrarmos ambos os lados e resolver as integrais, então vamo que vamo! Integrando:
Para o lado esquerdo da nossa expressão, teremos:
E para o lado direito, teremos:
Juntando os resultados, teremos:
Unindo as constantes:
Simplificando:
Show! Encontramos uma expressão para ! O enunciado também nos dá uma condição inicial , então se aplicarmos essa condição, teremos:
Substituindo no nosso resultado:
Beleza!
Passo 3
O enunciado nos diz que o máximo de pessoas alcançadas será , logo, para um teremos:
E o enunciado, para completar nossa equação, nos diz que , então teremos:
Como , então:
Logo, nossa expressão final será:
E está aí nossa resolução! 😉