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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 19

Resolva a equação diferencial

y^2 (d y)/(d x) = 3 x^2 y^3 - 6 x^2

Passo 1

Inicialmente reescreveremos a equação que nos foi dada, ou seja,

y^2 (d y)/(d x) = 3 x^2 ( y^3 - 2 )

Agora para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

(y^2)/(y^3 - 2) d y = 3 x^2 d x

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

int (y^2)/(y^3 - 2) d y = int 3 x^2 d x

Passo 2

Para resolver a primeira integral, usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = y^3 - 2 => d u = 3 y^2 d y => d y = (d u)/(3 y^2)

int (y^2)/(y^3 - 2) d y = int (y^2)/(u) (d u)/(3 y^2) = (1)/(3) int (1)/(u) d u = (1)/(3) ln |u| + C_1

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

(1)/(3) ln |u| = (1)/(3) l n | y^3 - 2 | + C_1

Logo,

int (y^2)/(y^3 - 2) d y = (1)/(3) l n | y^3 - 2 | + C_1

Passo 3

Para resolver a segunda integral utilizaremos a propriedade de retirada da constante e a regra de integração de polinômios

int 3 x^2 d x = 3 int x^2 d x = (3 x^3)/(3) + C_2 = x^3 + C_2

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

int (y^2)/(y^3 - 2) d y = int 3 x^2 d x

=> (1)/(3) ln |y^3 - 2| + C_1 = x^3 + C_2

De maneira geral teremos

(1)/(3) ln |y^3 - 2| - x^3 = C

Onde, C = C_1 + C_2

Resposta

A solução da EDO é:

(1)/(3) ln |y^3 - 2| - x^3 = C

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