Resolva a equação diferencial

y^2 \* (dy/dx) = 3x^2 \* y^3 - 6x^2

Passo 1

Inicialmente reescreveremos a equação que nos foi dada, ou seja,

y 2 d y d x = 3 x 2 ( y 3 - 2 )      

Agora para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

y 2 y 3 - 2 d y = 3 x 2   d x    

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ y 2 y 3 - 2 d y     = ∫ 3 x 2   d x

Passo 2

Para resolver a primeira integral, usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = y 3 - 2 ⇒ d u = 3 y 2 d y ⇒ d y = d u 3 y 2  

∫ y 2 y 3 - 2 d y     =   ∫ y 2 u d u 3 y 2   = 1 3 ∫ 1 u d u   = 1 3 ln ⁡ u + C 1

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

1 3 ln ⁡ u = 1 3 l n ⁡ | y 3 - 2 | + C 1

Logo,

∫ y 2 y 3 - 2 d y     = 1 3 l n ⁡ | y 3 - 2 | + C 1

Passo 3

Para resolver a segunda integral utilizaremos a propriedade de retirada da constante e a regra de integração de polinômios

∫ 3 x 2   d x = 3 ∫ x 2   d x = 3 x 3 3 + C 2 = x 3 + C 2

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

∫ y 2 y 3 - 2 d y     = ∫ 3 x 2   d x

⇒ 1 3 ln ⁡ y 3 - 2 + C 1 = x 3 + C 2

De maneira geral teremos

1 3 ln ⁡ y 3 - 2 - x 3 = C

Onde, C = C 1 + C 2

Resposta

A solução da EDO é:

1 3 ln ⁡ y 3 - 2 - x 3 = C

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