Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 33
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
33.
Passo 1
Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!
O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem de um lado da equação e tudo que tem do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!
Passo 2
A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:
Para simplificarmos o máximo possível antes de separar as variáveis e integrar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Para o numerador, teremos:
Já para o denominador, teremos:
Separando as variáveis:
Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!
Passo 3
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a integral da esquerda vamos fazer uma substituição simples, tudo bem? A substituição será:
Que também nos permite escrever: . Derivando, teremos:
Substituindo na nossa integral, teremos:
O resultado dessas integrais já é bem conhecido, saca só:
Voltando para a variável :
Agora vamos para a próxima integral!
Passo 4
Para a integral da direita também vamos fazer uma substituição simples, idêntica a que fizemos na integral passada. Vamos fazer:
Que nos permite escrever: . Derivando, teremos:
Substituindo na nossa integral, teremos:
O resultado dessas integrais já é bem conhecido, saca só:
Voltando para a variável :
Passo 5
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
E essa é a nossa função! 😉