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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 8

Resolva a equação diferencial do problema precedente se a mola distende-se 4 cm com um peso de 0,5 kg, e β = 2 , h t = 5 . c o s ⁡ ( t ) , x 0 = x ' 0 = 0

Passo 1

Problema precedente que?

Calmaa, temos que resolver a equação que encontramos no exercício anterior, que é essa aqui ó:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = k . h ( t )

Nossos dados são β = 2 , h t = 5 . c o s ⁡ ( t ) e para encontrarmos k , vamos usar o fato que “a mola distende-se 4 cm com um peso de 0,5 kg”, então:

F = k . x

m . g = k . x

0,5.32 = k . 4

k = 4

Lembrando que estamos usando g = 32 pra condizer com resultados não bizarros e as unidades de medida doidas da galera lá

Enfim, aí nossa equação fica assim:

1 2 d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 4 x = 4 . 5 c o s ( t )

1 2 d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 4 x = 20 c o s ( t )

E ele também fala que

x 0 = x ' 0 = 0

Passo 2

Temos

1 2 d 2 x d t 2 + 2 d x d t + 4 x = 20 c o s ( t )

x 0 = x ' 0 = 0

Então

x c = e - 2 t c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n 2 t

E:

x p = 56 13 . cos ⁡ t + 32 13 . s e n ( t )

Então

x t = e - 2 t - 56 13 cos ⁡ 2 t - 72 13 s e n 2 t + 56 13 . cos ⁡ t + 32 13 . s e n ( t )

Resposta

x t = e - 2 t - 56 13 cos ⁡ 2 t - 72 13 s e n 2 t + 56 13 . cos ⁡ t + 32 13 . s e n ( t )

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