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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 9a

Uma massa de 100 g é atada a uma mola de constante elástica 0,016 N/cm. Após a massa atingir o equilíbrio, seu suporte oscila de acordo com a fórmula h t = s e n ( 8 t ) , em que h representa o deslocamento a partir da posição de equilíbrio. Vejo o problema 7 e a figura 5.26.

(a) Na ausência de amortecimento, determine a equação de movimento se a massa parte do repouso na posição de equilíbrio

Passo 1

E aí meu amigo, vamos lá?

No problema 7, encontramos a equação

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = k . h ( t )

Para esse tipo de problema

E aí nesse exercício, temos m = 100 g = 1 10 k g = , h t = s e n ( 8 t ) , k = 0,016 N c m = 1,6 N m e como ele fala “na ausência de amortecimento”, vamos considerar β = 0 :

1 10 d 2 x d t 2 + 1,6 x = 1,6 . s e n ( 8 t )

Multiplicando tudo por 1000:

100 d 2 x d t 2 + 1600 x = 1600 . s e n ( 8 t )

E ele também informa que

x 0 = x ' 0 = 0

Passo 2

Temos

100 d 2 x d t 2 + 1600 x = 1600 . s e n ( 8 t )

x 0 = x ' 0 = 0

Então:

x c = c 1 . cos ⁡ 4 t + c 2 . s e n ( 4 t )

E também:

x p = - 1 3 s e n ( 8 t )

Então

x t = 2 3 . s e n 4 t - 1 3 s e n ( 8 t )

Resposta

x t = 2 3 . s e n 4 t - 1 3 s e n ( 8 t )

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