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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 10

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + y ' - 2 y = x + sen ⁡ 2 x ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 + r - 2 = 0

Fatorando, temos que:

r + 2 r - 1 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 1

r 2 = - 2

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e x + c 2 e - 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = x + sen ⁡ 2 x

Temos que:

y p = A x + B + C cos ⁡ 2 x + D sen ⁡ 2 x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = A - 2 C sen ⁡ 2 x + 2 D cos ⁡ 2 x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = - 4 C cos ⁡ 2 x - 4 D sen ⁡ 2 x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' + y p ' - 2 y p = x + sen ⁡ 2 x

- 4 C cos ⁡ 2 x - 4 D sen ⁡ 2 x + A - 2 C sen ⁡ 2 x + 2 D cos ⁡ 2 x - 2 A x + B + C cos ⁡ 2 x + D sen ⁡ 2 x   = x + sen ⁡ 2 x

- 4 C + 2 D - 2 C cos ⁡ 2 x + - 4 D - 2 C - 2 D sen ⁡ 2 x + - 2 A x + A - 2 B = x + sen ⁡ 2 x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

- 2 A = 1

A = - 1 2

A - 2 B = 0

B = - 1 4

- 6 C + 2 D = 0

3 C = D

- 6 D - 2 C = 1

- 6 3 C - 2 C = 1

C = - 1 20

D = - 3 20

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = - 1 2 x - 1 4 - 1 20 cos ⁡ 2 x - 3 20 sen ⁡ 2 x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e x + c 2 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 1 20 cos ⁡ 2 x - 3 20 sen ⁡ 2 x

Passo 5

Como temos valores iniciais, podemos encontrar c 1 e c 2 .

Temos que:

y ' x = c 1 e x - 2 c 2 e - 2 x - 1 2 + 1 10 sen ⁡ 2 x - 3 10 cos ⁡ 2 x

Aplicando nos pontos, temos que:

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 - 1 2 0 - 1 4 - 1 20 cos ⁡ 0 - 3 20 sen ⁡ 0

y 0 = c 1 + c 2 - 1 4 - 1 20

Como y 0 = 1 , temos que:

c 1 + c 2 = 1 + 6 20 = 26 20

c 1 + c 2 = 13 10

Temos também que:

y ' 0 = c 1 e 0 - 2 c 2 e 0 - 1 2 + 1 10 sen ⁡ 0 - 3 10 cos ⁡ 0

y ' 0 = c 1 - 2 c 2 - 1 2 - 3 10

y ' 0 = c 1 - 2 c 2 - 4 5

Como y ' 0 = 0 , temos que:

c 1 - 2 c 2 = 4 5

Portanto, temos:

c 1 = 17 15

c 2 = 1 6

Portanto, nossa solução será:

y x = 17 15 e x + 1 6 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 1 20 cos ⁡ 2 x - 3 20 sen ⁡ 2 x

Resposta

y x = 17 15 e x + 1 6 e - 2 x - 1 2 x - 1 4 - 1 20 cos ⁡ 2 x - 3 20 sen ⁡ 2 x

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