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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 13

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ 6 x y d V

Sob a região E que fica abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y que é delimitado pelas curvas y = sqrt(x) , y = 0 e x = 1 .

A imagem abaixo ilustra a região de interesse no plano x y descrita no enunciado:

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

int_0^1 int_0^(sqrt(x)) int_0^(1 + x + y) 6 x y d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

int_0^1 int_0^(sqrt(x)) [6 x y z]_(z = 0)^(z = 1 + x + y) d y d x = int_0^1 int_0^(sqrt(x)) [ 6 x y (1 + x + y) - 6 x y ( 0 ) d y d x

Simplificando a expressão, temos:

int_0^1 int_0^(sqrt(x)) 6 x y ( 1 + x + y ) d y d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_0^1 [3 x y^2 + 3 x^2 y^2 + 2 x y^3]_(y = 0)^(y = sqrt(x)) d x = int_0^1 {[3 x (sqrt(x))^2 + 3 x^2 (sqrt(x))^2 + 2 x (sqrt(x))^3] - [0]} d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^1 ( 3 x^2 + 3 x^3 + 2 x^((5)/(2)) ) d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[x^3 + (3)/(4) x^4 + (4)/(7) x^(7 // 2)]_0^1 = 1 + (3)/(4) + (4)/(7)

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ 6 x y d V = (65)/(28)

Resposta

∭ 6 x y d V = (65)/(28)

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