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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 41

Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 y e y e os planos z = 0 , x = ± 1 , y = 0   e   y = 1 .

Passo 1

Ooi galera, beleza??

A questão pede pra gente calcular o volume de um sólido...

Bom, o volume de um sólido abaixo de uma função f x , y em um domínio R é dado por:

V = ∬ R f x , y d A

Então nossa estratégia vai ser a seguinte:

  1. Definir quem é R e quem é f x , y pro sólido dessa questão
  2. Calcular a integral

Bora?

Passo 2

O domínio de integração R é a região no plano x y que nosso sólido está. Nesse caso, ela é delimitada por:

x = - 1 ,   x = 1 , y = 0 , y = 1

Isso gera um retângulo:

R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 1 }

Com relação à função que queremos integrar, vamos ver as limitações de z :

z = 1 + x 2 y e y ,   z = 0

Ou seja, nosso sólido vai ser a integral da função f x , y = 1 + x 2 y e y - 0 sobre o domínio R :

V = ∬ R 1 + x 2 y e y d A = ∫ 0 1 ∫ - 1 1 1 + x 2 y e y d x d y

Passo 3

Beleza, pela ordem de integração d x d y , vamos começar integrando em x :

V = ∫ 0 1 ∫ - 1 1 1 + x 2 y e y d x d y =

Lembrando que quando integramos em função de x , o y é constante:

= ∫ 0 1 x + x 3 3 y e y - 1 1   d y =

= ∫ 0 1 1 + 1 3 y e y - - 1 - 1 3 y e y d y =

= ∫ 0 1 2 + 2 3 y e y d y

Show! Agora é só integrar em y e pronto!

Passo 4

Para integrar em função de y , vamos dividir em duas integrais:

V = ∫ 0 1 2 d y + 2 3 ∫ 0 1 y e y d y

Essa segunda integral vamos usar integração por partes:

u = y → d u = d y d v = e y d y → v = e y

∫ 0 1 y e y d y = y e y 0 1 - ∫ 0 1 e y d y = y e y - e y 0 1 = e - e - - 1 = 1

Voltando para o volume:

V = 2 y 0 1 + 2 3 ∙ 1 =

= 2 - 0 + 2 3 = 2 + 2 3

⇒ V = 8 3

Esse é o volume procurado!!

Resposta

8 3

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Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D ) .
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Determine a área da superfície.A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .