Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.2 - Ex. 10
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
E supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?
As derivadas:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.
Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:
Aqui temos duas raízes reais e diferentes, então a solução vai ser:
Beleza! Agora vamos partir para a solução particular!
Passo 3
Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial integral temos:
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Assim:
E também:
E a primeira solução particular é:
Passo 4
A segunda solução particular vai ser dada a partir da função é e também não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma combinação de seno e cosseno:
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial integral temos:
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:
Multiplicando a segunda equação por e somando as duas vamos ter:
E substituindo na primeira temos o valor de :
Daí tiramos os valores de e :
E a solução particular é:
Passo 5
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e dos passos e temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
Passo 6
Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e . As condições iniciais são:
A primeira é sobre a solução, então fazendo em temos:
A segunda condição é sobre a derivada. Então é:
E aplicando em temos:
Substituindo temos:
E voltando para determinar :
Show! Finalmente temos a solução:
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?