Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.2 - Ex. 2
Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:
E supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?
As derivadas:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
As raízes são complexas do tipo ecdv a solução é:
Beleza? Aqui temos e . Vamos substituir os valores encontrados?
Agora vamos encontrar a solução particular.
Passo 3
A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função é , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma função exponencial:
Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?
As derivadas vão ser:
Resgatando a equação diferencial integral temos:
Agora substituindo e na equação diferencial temos:
Reorganizando os termos temos:
Assim:
E a solução particular é:
Passo 4
Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo temos a solução e do passo temos . Vai lá ao passo e pega a solução geral:
Substituindo os resultados teremos:
Se fosse um problema de valor inicial, agora seria a hora de aplicar as condições iniciais! Mas aqui não é o caso! Paramos por aqui =D
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?