Resolva a equação diferencial:

tan(theta) dr/dθ + r = sen^2(theta) 0 < theta < pi/2

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por tan  ⁡ θ , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

r ' + 1 tan  ⁡ θ r = sin ⁡ θ . cos ⁡ θ

r ' + cot ⁡ θ r = sin ⁡ θ . cos ⁡ θ

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

r ' θ + p θ s = f ( θ )

Comparando, percebemos que p θ =   cot ⁡ θ ;   f θ = sin ⁡ θ . cos ⁡ θ

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u t =   e ∫ p x d x = e ∫ cot ⁡ θ d θ =   e ln ⁡ s i n θ = sin ⁡ θ

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

sin ⁡ θ r ' + cos ⁡ θ = sin 2 ⁡ θ cos  ⁡ θ

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d r d θ sin ⁡ θ . r = sin 2 ⁡ θ cos  ⁡ θ

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

sin ⁡ θ . r = ∫ sin 2 ⁡ θ cos  ⁡ θ   d θ

sin ⁡ θ . r = sin 3 ⁡ θ 3 ⁡ +   C

r = sin 2 ⁡ θ 3 + C sin ⁡ θ

Resposta

r = sin 2 ⁡ θ 3 + C sin ⁡ θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados