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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 14

Resolva a equação diferencial:

tan theta (d r)/(d theta) + r = sin^2 theta 0 < theta < (pi)/(2)

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por tan theta , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

r^' + (1)/(tan theta) r = sin theta . cos theta

r^' + cot theta r = sin theta . cos theta

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

r^' (theta) + p (theta) s = f ( theta )

Comparando, percebemos que p (theta) = cot theta ; f (theta) = sin theta . cos theta

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (t) = e^(int p (x) d x) = e^(int cot theta d theta) = e^(ln s i n theta) = sin theta

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

sin theta r^' + cos theta = sin^2 theta cos theta

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d r)/(d theta) (sin theta . r) = sin^2 theta cos theta

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

(sin theta . r) = int sin^2 theta cos theta d theta

(sin theta . r) = (sin^3 theta)/(3) + C

r = (sin^2 theta)/(3) + (C)/(sin theta)

Resposta

r = (sin^2 theta)/(3) + (C)/(sin theta)

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