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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 11

Resolva a equação diferencial:

(t - 1)^3 (d s)/(d t) + 4 (t - 1)^2 s = t + 1 ; t > 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por (t - 1)^3 , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

(d s)/(d t) + (4)/(t - 1) s = (t + 1)/((t - 1)^3)

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

s^' (t) + p (t) s = f ( t )

Comparando, percebemos que p (t) = (4)/(t - 1) ; f (t) = (t + 1)/((t - 1)^3)

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (t) = e^(int p (x) d x) = e^(int (4)/(t - 1) d t) = e^(4 ln ( t - 1 )) = e^(ln ( t - 1 )^4) = (t - 1)^4

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

(t - 1)^4 s ' + 4 (t - 1)^3 s = ( t - 1 ) ( t + 1 )

(t - 1)^4 s^' + 4 (t - 1)^3 s = t^2 - 1

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d s)/(d t) ((t - 1)^4 . y) = t^2 - 1

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

((t - 1)^4 . y) = int t^2 - 1 d t

((t - 1)^4 . y) = (t^3)/(3) - t + C

y = (t^3)/(3 (t - 1)^4) - (t)/((t - 1)^4) + (C)/((t - 1)^4)

Resposta

y = (t^3)/(3 (t - 1)^4) - (t)/((t - 1)^4) + (C)/((t - 1)^4)

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Ache a solução geral.i)(d y)/(d x) + 3 y = x
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Ache a solução geral.m)(d y)/(d x) - y = s e n x
Ache a solução geral.g)(d x)/(d t) + x = c o s 2 t
Ache a solução geral.s)(d x)/(d t) = 3 x - e^(- t)