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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 9

Resolva a equação diferencial:

x y^' - y = 2 x l n x

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, vamos dividir a equação por x , pois o coeficiente de (d y)/(d x) deve ser 1.

y^' - (1)/(x) y = 2 ln x

Passo 2

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y^' (x) + p (x) y = f ( x )

Comparando, percebemos que p (x) = - (1)/(x) ; f (x) = 2 ln x

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (x) = e^(int p (x) d x) = e^(int - (1)/(x) d x) = e^(- ln x) = x^(- 1) = (1)/(x)

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y^' (1)/(x) + (1)/(x^2) y = (1)/(x) 2 ln x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d y)/(d x) ((1)/(x) y) = (1)/(x) 2 ln x

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

(1)/(x) y = int (1)/(x) 2 ln x d x

(1)/(x) y = ln x^2 + C

y = x l n x^2 + C x

Resposta

y = x l n x^2 + C x

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