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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 12

Resolva a equação diferencial:

(t + 1) (d s)/(d t) + 2 s = 3 (t + 1) + (1)/((t + 1)^2) t > - 1

Passo 1

E aê pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial.

Primeiro, Vamos fazer alguns ajustes para ficar parecida com a equação diferencial.

Dividimos por (t + 1) , pois o coeficiente de y ' deve ser 1. Beleza?

s ' + (2)/(t + 1) s = 3 + (1 1)/((t + 1)^3)

Agora comprar com a equação diferencial. Beleza?

s^' (t) + p (t) s = f ( t )

Comparando, percebemos que p (t) = (2)/(t + 1) ; f (t) = 3 + (11)/((t + 1)^3)

Passo 2

Agora, que identificamos p ( t ) e f ( t ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u (t) = e^(int p (x) d x) = e^(int (2)/(t + 1) d t) = e^(4 ln ( t + 1 )) = e^(ln ( t + 1 )^2) = (t + 1)^2

Passo 3

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

(t + 1)^2 s^' + 2 (t + 1) s = 3 (t + 1)^2 + (t + 1)^(- 1)

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

(d s)/(d t) ((t + 1)^2 . s) = 3 (t + 1)^2 + (t + 1)^(- 1)

Passo 4

Beleza, agora é só integrar:

((t + 1)^2 . s) = int 3 (t + 1)^2 + (t + 1)^(- 1) d t

((t + 1)^2 . s) = (t + 1)^3 + ln (t + 1) + C

y = (t + 1) + (t + 1)^(- 2) . ln (t + 1) + (C)/((t + 1)^2) t > - 1

Resposta

y = (t + 1) + (t + 1)^(- 2) . ln (t + 1) + (C)/((t + 1)^2) t > - 1

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