Resolva a equação diferencial.

12. 2 * (d^2 R) / (d t^2) + 6 * (d R) / (d t) + 34 R = 0

Passo 1

A equação diferencial não possui termos com t multiplicando as derivadas e a função R , então uma solução que satisfaz ela é:

R = e^(r t)

Mas precisamos encontrar os valores de r para termos a solução geral.

As derivadas da solução que usamos são:

(d R)/(d t) = r e^(r t)

(d^2 R)/(d t^2) = r^2 e^(r t)

Passo 2

Para acharmos r vamos substituir o que calculamos na equação diferencial dada:

2 r^2 e^(r t) + 6 r e^(r t) + 34 e^(r t) = 0

Dividindo dos dois lados por 2 e^(r t) :

r^2 + 3 r + 17 = 0

E aplicando a fórmula de Bhaskara no polinômio:

r = (- 3 +- sqrt(9 - 68))/(2) = (- 3 +- i sqrt(59))/(2)

Passo 3

Como as raízes são complexas ( r = alpha + i beta ) , a solução geral será do tipo:

R = e^(alpha x) ( c_1 c o s beta t + c_2 s e n beta t )

Com alpha = - 3 // 2 e beta = (sqrt(59))/(2) , a solução fica:

R = e^(- (3)/(2) t) [c_1 cos ((sqrt(59))/(2) t) + c_2 s e n ((sqrt(59))/(2) t)]

Resposta

R = e^(- (3)/(2) t) [c_1 cos ((sqrt(59))/(2) t) + c_2 s e n ((sqrt(59))/(2) t)]

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