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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + 3 ⋅ y ' + 2 ⋅ y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + 3 ⋅ r + 2 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + 3 ⋅ r + 2 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = - 3 ± 1 2

Tendo como raízes r 1 = - 1 e r 2 = - 2 . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e - t + c 2 ⋅ e - 2 t

Resposta

y = c 1 ⋅ e - t + c 2 ⋅ e - 2 t

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