Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

39. a_n = {sen(n)}

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência aqui

a n = s e n n

E precisamos decidir se ela converge ou diverge. E se convergir, vamos encontrar seu valor. E agora? É através do limite!

Precisamos aplicar o limite sobre essa sequência, para vermos se ela converge ou diverge.

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ s e n n

Se ela converge, o limite acima é um número que chamaremos de L .

Beleza? Vamos resolver juntos?

Passo 2

Temos nosso limite

L = lim n → ∞ ⁡ s e n n

Sabemos que n são números inteiros positivos, além disso, sabemos algo sobre a função seno?

Sim! Ela é uma função que aceita todos os n , mas sua imagem está limitada a valores entre [ - 1,1 ] .

E agora?

Passo 3

Fazendo um gráfico (de sin ⁡ x ) da função (sua versão contínua, mas assim podemos ter uma noção da nossa sequência) temos

Mas como podemos ver, a função seno resulta em valores entre -1 e 1, então, ao aplicarmos o limite, L não irá convergir (mesmo a sequência sendo limitada por -1 e 1), já que ela não é monótona.

Então ela será divergente.

Resposta

D i v e r g e

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