Resolva a equação (6) supondo E(t) = E_0 \* sen(ωt) e i(0) = i_0

Passo 1

E aííí, vamos lá pra mais um?

Precisamos resolver a equação 6 do seu livro, que é:

L d i d t + R . i = E ( t )

E aí ele fala que E t = E 0 . s e n ( ω t ) :

L d i d t + R . i = E 0 . s e n ( ω t )

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d i d t + A t . i = B ( t ) , olha, dividindo tudo por L :

d i d t + R L . i = E 0 . s e n ( ω t ) L     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

i t = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = R L e B t = E 0 . s e n ( ω t ) L então:

I t = e ∫ R L   d t

I t = e R L t

Substituindo o que temos na equação ( I I ) :

i t = 1 e R L t ∫ e R L t . E 0 . s e n ( ω t ) L   d t + c

i t = 1 e R L t E 0 L ∫ e R L t . s e n ( ω t )   d t + c       ( I I I )

Vamos calcular essa integral aí de dentro separadamente tá bom? E aí depois de termos o seu resultado, teremos a solução da EDO

Passo 2

Temos a integral:

∫ e R L t . s e n ω t d t

Vamos usar integração por partes com u = s e n ( ω t ) e d v = e R L . t , aí temos d u = ω . c o s ⁡ ( ω t ) e v = L R . e R L . t :

∫ e R L t . s e n ω t d t = s e n ω t . L R . e R L . t - ∫ L R . e R L . t . ω . cos ⁡ ω t d t

∫ e R L t . s e n ω t d t = s e n ω t . L R . e R L . t - L R ω ∫ e R L . t . cos ⁡ ω t d t

Agora vamos aplicar integral por partes de novo, dessa vez com u = cos ⁡ ω t e d v = e R L . t , aí temos d u = - ω s e n ( ω t ) e v = L R . e R L . t :

∫ e R L t . s e n ω t d t = s e n ω t . L R . e R L . t - L R ω cos ⁡ ω t . L R . e R L . t - ∫ L R . e R L . t . - ω s e n ( ω t ) d t

Agora é só a gente ir manipulando as variáveis:

∫ e R L t . s e n ω t d t = s e n ω t . L R . e R L . t - L R ω cos ⁡ ω t . L R . e R L . t - - ω . L R ∫ e R L . t . s e n ( ω t ) d t

Ali no final da expressão temos exatamente a integral que queremos calcular, então nosso objetivo é mandar ela lá pro lado esquerdo, junto com a outra integral, e isolarmos elas:

∫ e R L t . s e n ω t d t = L . s e n ω t R . e R L . t - L R ω cos ⁡ ω t . L . e R L . t R + ω . L R ∫ e R L . t . s e n ( ω t ) d t

∫ e R L t . s e n ω t d t = L . s e n ω t R . e R L . t - L ω R . cos ⁡ ω t . L . e R L . t R - L ² ω ² R ² ∫ e R L . t . s e n ( ω t ) d t

Vamos passar a parte da integral pro outro lado:

∫ e R L t . s e n ω t d t + L ² ω ² R ² ∫ e R L . t . s e n ( ω t ) d t = L . s e n ω t R . e R L . t - L 2 ω . e R L . t . cos ⁡ ω t R ²

Colocando a integral em evidência:

∫ e R L t . s e n ω t d t . 1 + L 2 ω 2 R 2 = L R . e R L . t . s e n ω t - L R ω . cos ⁡ ω t

Ta bom, mas precisamos do resultado da integral, então vamos isolar beleza?

Passo 3

Agora vamos isolar a integral para termos seu resultado:

∫ e R L t . s e n ω t d t = L R . e R L . t . R . s e n ω t R - L . ω . cos ⁡ ω t R 1 + L 2 ω 2 R 2

Vamos dar uma simplificada nesse monstrinho aí:

∫ e R L t . s e n ω t d t = L R . e R L . t . 1 R . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 R 2 + L 2 ω 2 R 2

∫ e R L t . s e n ω t d t = L . e R L . t . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R ² R 2 + L 2 ω 2 R 2

Cortando o R ² :

∫ e R L t . s e n ω t d t = L . e R L . t . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2       ( I V )

E esse é o resultado da nossa integral, agora vamos substituir lá em ( I I I )

Passo 4

Temos

i t = 1 e R L t E 0 L ∫ e R L t . s e n ( ω t )   d t + c

Substituindo ( I V ) :

i t = 1 e R L t E 0 L . L . e R L . t . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2 + c

Dá pra cortar o L olha:

i t = 1 e R L t E 0 . e R L . t . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2 + c

Multiplicando o de fora com o de dentro:

i t = E 0 . e R L . t . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t e R L t R 2 + L 2 ω 2 + c e R L t

Por fim, a expressão da corrente é dada assim:

i t = E 0 . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2 + c . e - R L t

Mas ainda precisamos considerar que i 0 = i 0 , vamos lá

Passo 5

Temos

i t = E 0 . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2 + c . e - R L t

Usando que i 0 = i 0 :

i 0 = i 0 = E 0 . R . s e n ω . 0 - L . ω . cos ⁡ ω . 0 R 2 + L 2 ω 2 + c . e - R L . 0

i 0 = i 0 = E 0 . R . 0 - L . ω . 1 R 2 + L 2 ω 2 + c . e 0

E 0 . - L . ω R 2 + L 2 ω 2 + c . 1 = i 0

- L ω . E 0 R 2 + L 2 ω 2 + c = i 0

c = i 0 + L ω . E 0 R 2 + L 2 ω 2

Substituindo na nossa equação, temos nosso resultado final:

i t = E 0 . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2 + i 0 + L ω . E 0 R 2 + L 2 ω 2 . e - R L t

Resposta

i t = E 0 . R . s e n ω t - L . ω . cos ⁡ ω t R 2 + L 2 ω 2 + i 0 + L ω . E 0 R 2 + L 2 ω 2 . e - R L t

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