Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 16
Resolva a equação (6) supondo e
Passo 1
E aííí, vamos lá pra mais um?
Precisamos resolver a equação 6 do seu livro, que é:
E aí ele fala que :
Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato , olha, dividindo tudo por :
Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Substituindo o que temos na equação :
Vamos calcular essa integral aí de dentro separadamente tá bom? E aí depois de termos o seu resultado, teremos a solução da EDO
Passo 2
Temos a integral:
Vamos usar integração por partes com e , aí temos e :
Agora vamos aplicar integral por partes de novo, dessa vez com e , aí temos e :
Agora é só a gente ir manipulando as variáveis:
Ali no final da expressão temos exatamente a integral que queremos calcular, então nosso objetivo é mandar ela lá pro lado esquerdo, junto com a outra integral, e isolarmos elas:
Vamos passar a parte da integral pro outro lado:
Colocando a integral em evidência:
Ta bom, mas precisamos do resultado da integral, então vamos isolar beleza?
Passo 3
Agora vamos isolar a integral para termos seu resultado:
Vamos dar uma simplificada nesse monstrinho aí:
Cortando o :
E esse é o resultado da nossa integral, agora vamos substituir lá em
Passo 4
Temos
Substituindo :
Dá pra cortar o olha:
Multiplicando o de fora com o de dentro:
Por fim, a expressão da corrente é dada assim:
Mas ainda precisamos considerar que , vamos lá
Passo 5
Temos
Usando que :
Substituindo na nossa equação, temos nosso resultado final:
