Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 10
Quando a capitalização é feita de maneira contínua, a quantidade de dinheiro aumenta a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo: , em que é a taxa anual de juros (veja (26) da seção 1.2).
a) Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos, quando são depositados em uma poupança com taxa anual de juros de e capitalização contínua.
b) Em quantos anos a soma inicial depositada duplicará?
c) Use uma calculadora e compare o número obtido na parte (a) com o valor
Esse valor representa a quantidade acumulada quando a capitalização é trimestral.
Passo 1
Vamos lá galera
A primeira informação que vamos usar nesse exercício é a equação diferencial
Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como , olha:
A solução de uma equação diferencial linear é dada por:
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Então temos nosso fator de integração.
Vamos substituir as informações que temos na equação :
Sendo
Passo 2
a) Agora vamos pro item a. Aqui ele quer saber quanto dinheiro vai ser acumulado em se e ao ano.
Temos lá do passo 1:
Substituindo os valores:
Então, ao final de 5 anos temos:
Passo 3
b) Na letra b ele quer saber quanto tempo vai demorar pra que o valor inicial duplique, ou seja, queremos . Vamos aplicar isso na fórmula:
Então:
Esse é o tempo pro valor inicial dobrar :O
Passo 4
c) Primeiro vamos calcular o que ele deu:
Usando a calculadora, temos
Enquanto na letra a encontramos:
Bom, então dá uma diferença aí quando a capitalização é trimestral né, mas é pouca coisa hehe
Resposta
a)
b)
c)