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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 4

A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 400 bactérias presentes. Após 10 horas, existem 2000 bactérias presentes. Qual era o número inicial de bactérias?

Passo 1

E vamos lá!

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é que a população cresce proporcionalmente ao número de bactérias naquele instante

Então vamos chamar N 0 o número de bactérias naquele instante e d N d t a taxa de crescimento da população. Temos:

d N d t ∝ N 0

Então

d N d t = k . N 0   ( I )

Onde k é uma constante

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d N d t + A t . N = B ( t ) , olha:

d N d t - k . N = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

N ( t ) = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = k e B y = 0 então:

I t = e ∫ - k   d t

I t = e - k t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

N t = 1 e - k t ∫ 0   d t + c

N t = 1 e - k t 0 + c

N t = c . e k t

Sendo c = N 0

N t = N 0 . e k t

Passo 2

Temos

N t = N 0 . e k t

E o exercício nos fala o seguinte:

N 3 = 400

N 10 = 2000

E queremos descobrir o valor de N 0 , que é o número inicial de bactérias

Então vamos lá, temos:

N 3 = 400 = N 0 . e k . 3     ( I I I )

N 10 = 2000 = N 0 . e 10 k       ( I V )

De ( I I I ) , temos

e 3 k = 400 N 0

e k = 400 N 0 1 3     ( V )

Substituindo em ( I V ) :

N 0 . 400 N 0 1 3 10 = 2000

N 0 . 400 N 0 1 0 3 = 2000

Usando propriedade de potenciação:

N 0 - 7 3 . 400 10 3 = 2000

N 0 = 2000 400 10 3 - 3 7

Então, a população inicial era

N 0 ≅ 201

E acabamossss meu povo

Resposta

N 0 ≅ 201

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