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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 1g

  1. Resolva a equação

g) (d^2 y)/(d x^2) - (d y)/(d x) - 2 y = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á

    2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  2. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

(d^2 y)/(d x^2) - (d y)/(d x) - 2 y = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

lambda^2 - lambda - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo...

lambda^2 - lambda - 2 = 0

( lambda - 2 ) ( lambda + 1 )

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = 2 , lambda_2 = - 1

Pelo teorema, lambda_1 != lambda_2

Então a solução geral da equação,

y = A e^(2 * x) + B e^(- 1 * x)

Resposta

y = A e^(2 x) + B e^(- x)

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