Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.1 - Ex. 32
Resolva o problema de contorno, se possível.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero. Com isso, vamos supor uma solução do tipo:
O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. E depois aplicar as condições iniciais e determinar as constantes =)
Vamos lá?
Passo 2
Como primeiro passo, vamos supor uma solução do tipo:
As derivadas de primeira e segunda ordem:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
Dividindo essa equação por temos:
Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.
Passo 3
Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:
As raízes são complexas do tipo e assim a solução é:
Beleza? Aqui achamos e . Vamos substituir os valores encontrados?
Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?
Bora lá!
Passo 4
As duas condições de contorno são:
A primeira condição de contorno nos diz que . Aplicando na solução do passo temos:
Sendo assim temos:
Dalí tiramos o valor de :
A segunda condição de contorno é em outro ponto da solução. Então temos:
Mas , então:
Assim podemos determinar o valor de :
Sim! Esse problema de contorno tem solução e juntando as constantes com a solução do passo temos:
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?