Resolva as equações diferenciais

du/dt = (1 + t^4) / (u \* t^2 + u^4 \* t^2)

Passo 1

Vamos resolver mais uma equação diferencial? Então, bora!

Nessa questão, temos que resolver a seguinte equação:

d u d t = 1 + t 4 u t 2 + u 4 t 2

O primeiro passo é separar as variáveis, ou seja, tudo que tem u , eu vou colocar no lado esquerdo da equação junto com d u e tudo que tem t , eu vou deixar no lado direito da equação junto com d t que eu vou passar para lá multiplicando.

Feito isso, é só integrar de cada lado e correr pro abraço!

Passo 2

Para tentar separar nossas variáveis, vamos começar multiplicando cruzado:

u t 2 + u 4 t 2 d u = 1 + t 4 d t

Agora, precisamos tirar a variável t que acabou ficando do lado esquerdo. Para isso, vamos coloca-la em evidência.

t 2 u + u 4 d u = 1 + t 4 d t

E como o t 2 está do lado esquerdo multiplicando, vamos passa-lo para o outro lado dividindo.

u + u 4 d u = 1 t 2 + t 2 d t

Show de bolê! Agora é só integrar dos dois lados.

Passo 3

Aplicando a integral dos dois lados, vamos ficar com:

∫ u + u 4 d u = ∫ ( 1 t 2 + t 2 ) d t

E isso daí é integral de polinômio!

Melzinho na chupeta! Vem comigo...

Só lembrando que 1 t 2 = t - 2

∫ u + u 4 d u = ∫ ( t - 2 + t 2 ) d t

u 2 2 + u 5 5 = t - 1 - 1 + t 3 3

Reescrevendo e colocando a nossa constante nossa de todo dia que não pode faltar numa integral indefinida...

u 2 2 + u 5 5 = - 1 t + t 3 5 + C

Como essa função não dá pra ser reescrita de forma que u fique exposto, encerramos por aqui! Até a próxima

Resposta

u 2 2 + u 5 5 = - 1 t + t 3 5 + C

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