Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 16
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
E aí galera, tudo bem?
Para resolver esta questão, primeiro analisaremos a natureza da série dada. Observaremos que a série possui a forma . Notemos que só pode ser ou devido às propriedades do cosseno. Portanto, essa expressão resulta em uma série alternada tornando a série uma série alternada. Identificaremos , a forma da série após a simplificação.
Nesse caso então o ...
Passo 2
Pra provar a convergência, utilizaremos o Teste da Série Alternada para demonstrar a convergência da série. Para isso, confirmaremos duas condições:
- Mostraremos que para todo .
- Calcularemos para verificar se tende a zero.
Se essas duas condições forem verdadeiras a nossa série será convergente. Se as condições forem falsas, ela será divergente.
Para verificarmos a primeira condição, derivaremos quando e mostraremos que é decrescente.
O que indica que é decrescente para todo .
Para a segunda condição, calcularemos o limite de quando . Utilizando a regra de
Passo 3
Para a segunda condição, calcularemos o limite de quando . Utilizando a regra de L’Hôpital, temos:
Portanto, a segunda condição também está satisfeita. Ou seja, a série converge.
Resposta
Converge.