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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 8

Resolva as equações diferenciais

4 x^3 y + x^4 y^' = sin^3 x

Passo 1

Temos aqui uma equação linear em mãos. Isso significa que temos uma equação com essa estrutura

y^' + A (x) y = B ( x )

Para resolver essa equação precisamos treinar um novo truque. O FATOR INTEGRANTE. Eu vou mostrar de onde ele surge, mas depois que pegarmos o jeito podemos só usar a formulinha já pronta para resolver nosso problema.

Quando temos uma função comum, por exemplo :

y = f (x)

Se quisermos derivar ela, podemos fazer

(d)/(d x) y = (d)/(d x) f (x)

y^' = f ' ( x )

E claro, voltar para nossa função original seria bem fácil. Podemos integrar fazendo Separação de Variaveis

(d y)/(d x) = f ' (x)

d y = f ' (x) d x

int d y = int f ' (x) d x

y = f (x) + c

E agora se tivermos uma função desse jeito

y^' + A (x) y = B ( x )

Fica impossível separar as variáveis. Temos que usar uma nova técnica, a do FATOR INTEGRANTE. Podemos imaginar que lá no início na nossa primitiva temos uma função aleatória I (x) que multiplica nosso y . Pensar isso vai salvar a pátria. Saca só

I ( x ) y ( x ) = I ( x ) F ( x )

Então podemos derivar e teremos

(I ( x ) y ( x ))^' = (I ( x ) F ( x )) '

(I (x) y (x))^' = I^' (x) F (x) + I (x) F^' (x)

Podemos imaginar que essa função I ( x ) seja da família das exponenciais, logo sua derivada seria ela mesma, multiplicada por alguma outra função.

I^' (x) = I (x) A ( x )

Então ficamos com

(I (x) y (x))^' = I (x) A ( x ) F (x) + I (x) F^' (x)

(I (x) y (x))^' = I (x) [A (x) F (x) + F^' (x)]

O legal dessa técnica é que o termo em colchetes é tudo o que fica do lado direito da nossa equação linear

y^' + A (x) y = B ( x )

Então esse B (x) é nosso termo entre colchetes

B (x) = A (x) F (x) + F^' (x)

(I (x) y (x))^' = I (x) B (x)

Agora se integrarmos de ambos os lados teremos

int (I (x) y (x))^' d x = int I (x) B (x) d x

I (x) y (x) = int I (x) B (x) d x + C

y (x) = (1)/(I (x)) int I (x) B (x) d x + C

Estamos quase acabando. Esse I ( x ) é só uma bengala na nossa solução. Temos que nos livrar dele. Por suposição fizemos

I^' (x) = I (x) A ( x )

Com isso podemos conseguir achar nosso fator integrante em função da nossa função genérica

(d)/(d x) I (x) = I (x) A ( x )

(1)/(I (x)) d I (x) = A (x) d x

ln ( I ( x ) ) = int A ( x ) d x

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

Essa integral teria que ter uma constante arbitraria. Mas como já vamos colocar uma constante lã no final da integral. Podemos arbitrar que a de agora seja nula. Beleza? Podemos prosseguir então. Conseguimos fazer que nossa equação Diferencial Linear tivesse a seguinte solução

y (x) = (1)/(I (x)) int I (x) B (x) d x + C

Sendo nosso fator integrante

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

Vamos agora analisar nossa equação do exercício

Passo 2

Temos

4 x^3 y + x^4 y^' = sin^3 x

Ordenando equação para ficar no formato padrão, fica :

y^' + (4)/(x) y = (sin^3 x)/(x^4)

Sabemos então que nossa solução será

y (x) = (1)/(I (x)) int I (x) B (x) d x + C

Onde nosso

A (x) = (4)/(x)

B (x) = (sin^3 x)/(x^4)

Passo 3

Vamos descobrir o Fator Integrante

I ( x ) = e^(int A ( x ) d x)

I ( x ) = e^(int (4)/(x) d x)

I (x) = e^(4 l n x) -> x^4

Passo 4

Agora sim, podemos resolver nossa equação linear

y (x) = (1)/(x^4) int x^4 (sin^3 x)/(x^4) d x + C

y (x) = (1)/(x^4) int sin^3 x d x + C

Vamos aqui precisar de mais uma etapa, porque essa integral só sai por integração por substituição. Vamos também que usar a relação trigonométrica clássica para resolver nossa integral

sin^2 x + cos^2 x = 1

int sin^3 x d x = int sin x* sin^2 x d x

= int sin x * (1 - c o s^2 x) d x

= int sin x d x - int sin x cos^2 x d x

= - cos x - int sin x cos^2 x d x

Podemos fazer uma substituição esperta aqui

u = cos x

d u = - sin x d x

= - cos x + int u^2 d u

= - cos x + (u^3)/(3)

Agora só precisamos voltar de u -> x

= - cos x + ((cos x)^3)/(3)

Então na nossa equação solução fica

y (x) = (1)/(x^4) int sin^3 x d x + C

y (x) = (1)/(x^4) [(- cos x + ((cos x)^3)/(3)) + C]

Viu que depois que a gente já está afiado com a teoria, aplicar a formula fica até mais rápido? Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y (x) = (1)/(x^4) [(- cos x + ((cos x)^3)/(3)) + C]

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