Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 57
Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.
57. , no qual .
Passo 1
Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:
No qual e são funções APENAS de . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!
Passo 2
O problema que surge aqui é que dependerá do valor de , certo? Sendo assim, precisaremos resolver DUAS equações diferenciais, uma para cada intervalo dado. O primeiro intervalo é para . Nesse caso , logo:
E então tiramos que:
Show!
Passo 3
Agora que encontramos e vamos substituir na nossa solução geral:
Resolvendo a integral do expoente:
Substituindo, teremos:
Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Aqui basta fazermos uma substituição simples, saca só:
Logo, teremos:
Substituindo:
Esse é o resultado para , beleza? Top!
Passo 4
O segundo intervalo é para . Nesse caso , logo:
E então tiramos que:
Show!
Passo 5
Agora que encontramos e vamos substituir na nossa solução geral:
Resolvendo a integral do expoente:
Substituindo, teremos:
E esse é o resultado para , beleza? Top!
Passo 6
Para resumirmos, temos como resultado o seguinte:
No entanto a questão nos dá uma condição inicial, que é . Para a primeira constante, teremos:
Agora para teremos que aplicar igualando os dois resultados de , já que descobrimos . Saca só:
E agora que encontramos e podemos resumir nosso resultado final (AMÉM) da seguinte forma:
OBS: Note que omitimos a constante arbitrária em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? 😉