Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 47
A temperatura no ponto numa substância com condutividade é . Encontre a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro da superfície cilíndrica , .
Passo 1
E aiii meus queridos, belezinha!?
Precisamos achar a taxa de transmissão de calor para dentro da superfície cilíndrica:
,
Onde, a temperatura no ponto numa substância com condutividade é:
Vamos analisar com calma agora!
Pessoal, se a temperatura em um ponto é dada por , então a taxa de transmissão de calor é dada pelo campo vetorial:
onde é uma constante determinada experimentalmente e é conhecida como condutividade da substância. E é o gradiente de , que tem essa cara:
Já, a taxa de transmissão de calor através da superfície é dada pela integral de superfície:
Podemos reescrever essa integral, da seguinte forma:
onde é o vetor unitário normal e . O termo representa o produto vetorial entre as derivadas de em relação a e .
O fluxo através da superfície é definido somente se a superfície for orientável. Note que se a superfície é orientável, terão dois vetores normais em todos os pontos. Podemos escrever:
Para encontrar o fluxo nós sempre usamos que corresponde a orientação positiva.
Agora pessoal, perceba que se substituir na integral vamos ter:
Como é um cilindro, você pode usar uma parametrização em coordenadas polares. Assim:
Agora você consegue dar sequência, não tem erro, é só montar a integral!
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar analisando a parametrização, porque precisamos dela para achar .
Do enunciado temos uma região cilíndrica, e uma parametrização pode ser expressa como:
Agora podemos calcular as derivadas parciais:
Portanto, escrevendo na forma matricial temos:
Aplicando o determinante vamos encontrar:
Assim,
Nós sabemos que .
Logo, o gradiente de é:
Assim, podemos escrever o campo vetorial como:
Lembrando que a condutividade da substância vale:
Passo 3
Parametrizando , vamos ter:
Agora, podemos substituir na integral:
A taxa de transmissão de calor através da superfície é
Fazendo o produto escalar, temos:
Passo 4
Usando a relação trigonométrica:
Vamos ter:
Integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração, ficamos com:
Integrando em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração, teremos como resposta a seguinte taxa de transferência de calor: