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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 40

Resolva a integral.

∫ t e 2 t i ^ + t 1 - t j ^ + 1 1 - t ² k ^ d t

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que calcular a integral de uma função vetorial. Mas como fazer isso? Da mesma forma que integramos normalmente, devemos integrar cada termo x t ,   y t ,   z t individualmente.

Note que podemos escrever a integral do enunciado da seguinte maneira:

∫ t e 2 t i ^ + t 1 - t j ^ + 1 1 - t ² k ^ d t = ∫ t e 2 t î d t + ∫ t 1 - t j ^ d t + ∫ 1 1 - t ² k ^ d t

Então poderemos calcular cada integral individualmente.

Passo 2

Integral da coordenada i ^ :

∫ t e 2 t d t

Para resolver esta integral precisamos primeiro fazer uma substituição:

x = 2 t    

d x = 2 d t

∫ x 2 e x d x 2 = 1 4 ∫ x e x d x

Agora precisamos fazer uma integração por partes:

u = x  

d u = d x

d v = e x d x

v = e x

1 4 u v - ∫ v d u = 1 4 x e x - ∫ e x d x

1 4 x e x - ∫ e x d x = 1 4 e x ( x - 1 )

Mas x = 2 t , então:

∫ t e 2 t d t = 1 4 e 2 t 2 t - 1 + C

Passo 3

Integral da coordenada j ^ :

∫ t 1 - t d t

Para resolver esta integral precisamos fazer a seguinte substituição:

u = 1 - t  

d u = - d t

- ∫ 1 - u u d u = - ∫ 1 u - 1 d u

- ∫ 1 - u u d u = - ln ⁡ u + u

Mas u = 1 - t , então:

∫ t 1 - t d t = - ln ⁡ 1 - t + 1 - t + C

Passo 4

Integral da coordenada k ^ :

∫ 1 1 - t ² d t

Esta é uma integral trigonométrica, cujo resultado é:

∫ 1 1 - t ² d t = arcsin ⁡ t + C

Desta forma o resultado da integral da função vetorial é:

∫ t e 2 t i ^ + t 1 - t j ^ + 1 1 - t ² k ^ d t = 1 4 e 2 t ( 2 t - 1 ) i ^ + ( 1 - ln ⁡ 1 - t - t ) j ^ + arcsin ⁡ t k ^ + C

Resposta

∫ t e 2 t i ^ + t 1 - t j ^ + 1 1 - t ² k ^ d t = 1 4 e 2 t ( 2 t - 1 ) i ^ + ( 1 - ln ⁡ 1 - t - t ) j ^ + arcsin ⁡ t k ^ + C

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