Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 20
Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma
uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como
As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.
As constantes e podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.
Vamos escrever a equação característica da nossa questão:
Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:
Passo 2
Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:
Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando :
Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,
Aplicando o valor :
Temos, então, um sistema de duas equações e duas incógnitas! Logo,
Passo 3
Para começarmos a resolver o sistema de equações, vamos tirar a seguinte relação da primeira equação:
Substituindo na segunda equação, temos:
Logo,
Assim, a solução final é igual a:
Resposta
A solução final da equação é: