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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 25

Resolva os problemas de valor de contorno:

y^(' ') + 16 y = 0 , y (0) = - 3 , y ((pi)/(8)) = 2

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor de contorno! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r^2 + 16 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (0 + sqrt(0 - 4 (1) (16)))/(2) = (0 + 8 i)/(2) = 0 + 4 i

r_1 = (0 - sqrt(0 - 4 (1) (16)))/(2) = (0 - 8 i)/(2) = 0 - 4 i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = (C_1 cos (4 x) + C_2 sen (4 x))

Vamos aplicar os valores de contorno dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = - 3 :

- 3 = ( C_1 cos (0) + C_2 sen ( 0 ) )

C_1 = - 3

Aplicando o segundo valor de contorno, temos

2 = - 3 cos ((4 pi)/(8)) + C_2 sen ((4 pi)/(8))

C_2 = 2

Assim, a solução final é igual a:

y = (- 3 cos (4 x) + 2 sen (4 x))

Resposta

A solução final da equação é:

y = (- 3 cos (4 x) + 2 sen (4 x))

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