Resolva os problemas de valor de contorno:

y'' + 6y' = 0, y(0) = 1, y(1) = 0

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C 1 e C 2 podem ser encontradas através dos problemas de valor de contorno! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

r 2 + 6 r = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = - 6 + 36 - 4 1 0 2 = - 6 + 6 2 = 0

r 1 = - 6 - 36 - 4 1 0 2 = - 6 - 6 2 = - 6

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = C 1 e 0 x + C 2 e - 6 x = C 1 + C 2 e - 6 x

Vamos aplicar os valores de contorno dados para encontrarmos as constantes! Quando y 0 = 1 :

1 = C 1 + C 2 e 0

C 1 + C 2 = 1 → C 2 = 1 - C 1

Aplicando o segundo valor de contorno y 1 = 0 , temos

0 = C 1 + C 2 e - 6

0 = C 1 + ( 1 - C 1 ) e - 6

C 1 + e - 6 - C 1 e - 6 = 0

C 1 = - e - 6 1 - e - 6

Assim,

C 2 = 1 + e - 6 1 - e - 6 = 1 1 - e - 6

Assim, a solução final é igual a:

y = - e - 6 1 - e - 6 + 1 1 - e - 6 e - 6 x

Resposta

A solução final da equação é:

y = - e - 6 1 - e - 6 + 1 1 - e - 6 e - 6 x

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