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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 22

Resolva os problemas de valor inicial.

4 y^(' ') - 20 y^' + 25 y = 0 , y (0) = 2 , y^' (0) = - 3

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

4 r^2 - 20 r + 25 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (20 + sqrt(400 - 4 (4) (25)))/(2 xx 4) = (20)/(8) = (5)/(2)

r_1 = (20 - sqrt(400 - 4 (4) (25)))/(2 xx 4) = (20)/(8) = (5)/(2)

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = C_1 e^((5 x)/(2)) + C_2 x e^((5 x)/(2))

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = 2 :

2 = C_1 e^0 + C_2 ( 0 ) e^0

C_1 = 2

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y^' = (5)/(2) C_1 e^((5 x)/(2)) + (5)/(2) C_2 ( x ) e^((5 x)/(2)) + C_2 e^((5 x)/(2))

Aplicando o valor y^' (0) = - 3 :

- 3 = (5)/(2) C_1 + C_2 e^0

C_2 = - 3 - (5)/(2) ( 2 )

C_2 = - 8

Assim, a solução final é igual a:

y = 2 C_1 e^((5 x)/(2)) - 8 x e^((5 x)/(2))

Resposta

A solução final da equação é:

y = 2 C_1 e^((5 x)/(2)) - 8 x e^((5 x)/(2))

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