Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 43
41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
43.
Passo 1
Oieee, vamos resolver essa atividade.
A gente precisa encontrar aqui o plano tangente e a reta normal a superfície:
No ponto:
A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:
Onde:
Veja então que precisaremos calcular as derivadas parciais aqui. A equação da reta normal a superfície em um ponto genérico será dada por:
Vamos partir para os cálculos então!
Passo 2
a) A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:
Então o que devemos descobrir aqui é quanto vale esse gradiente! Ele pode ser calculado assim:
As derivadas no ponto em questão serão:
Derivando em relação a e mantendo todas as outras variáveis como constante:
Substituindo o valor do ponto de interesse:
Derivando em relação a e mantendo todas as outras variáveis como constante:
Substituindo o valor do ponto de interesse:
Derivando em relação a e mantendo todas as outras variáveis como constante:
Temos que o nosso gradiente é então:
Passo 3
Agora que descobrimos o gradiente da função, vamos realizar aquele produto escalar que escrevemos lá em cima, saca só:
Substituindo o que encontramos:
Realizando o produto vetorial:
Simplificando:
Que é a equação do plano tangente!
Passo 4
b) Já para encontrarmos a equação da reta normal devemos fazer:
Substituindo os valores que temos:
Encontramos então a equação da reta normal, parametrizada:
Que são as equações paramétricas da reta normal!
Resposta
a)
b)