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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 10

Resolva as equações diferenciais

(d z)/(d t) + e^(t + z) = 0

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

(d z)/(d t) + e^(t + z) = 0

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for z vai para um lado, tudo que for t vai para o outro.

(d z)/(d t) + e^(t + z) = 0

(d z)/(d t) = - e^(t + z)

(d z)/(d t) = - e^t e^z

(1)/(e^z) d z = - e^t d t

e^(- z) d z = - e^t d t

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

int e^(- z) d z = int - e^t d t

- e^(- z) = - e^t

e^(- z) = e^t + C

Podemos manipular um pouco essa equação pra ela ficar mais organizada

- z = ln ( e^t + C )

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se estiver dentro ou forma do logaritmo, não fará a menor diferença, então podemos dizer que :

z = - t + C

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

z = - t + C

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