Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 23
Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando ; determine, também, os valores de , se existirem, para os quais todas as soluções (não nulas) tornam=se ilimitadas quando .
Passo 1
Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos resolver juntos!!
Passo 2
Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por , temos que nossa solução geral será
e
Ficando com e . Substituindo em nossa EDO, temos que
Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que
Tendo como raízes e . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é
Passo 3
Para que essa equação tenda a 0 quando , precisamos que os dois expoentes das exponenciais sejam negativos. Ou seja, basta , assim toda solução tendo para 0 conforme aumenta. Para que nossas soluções tendam ao infinito junto com , basta , assim todo expoente será positivo e crescerá junto com .