Enunciado

Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando t → ∞ ; determine, também, os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções (não nulas) tornam=se ilimitadas quando t → ∞ .

y ' ' - 2 α - 1 y ' + α α - 1 y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 - 2 α - 1 r + α α - 1 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 - 2 α - 1 r + α 2 - α = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = ( 2 α - 1 ) ± 2 α - 1 2 - 4 ⋅ ( α 2 - α ) 2

Tendo como raízes r 1 = α e r 2 = α - 1   . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e α t + c 2 ⋅ e α - 1 t

Passo 3

Para que essa equação tenda a 0 quando t → ∞ , precisamos que os dois expoentes das exponenciais sejam negativos. Ou seja, basta α < 0 , assim toda solução tendo para 0 conforme t aumenta. Para que nossas soluções tendam ao infinito junto com t , basta α > 1 , assim todo expoente será positivo e crescerá junto com t .

Resposta

y = c 1 ⋅ e α t + c 2 ⋅ e α - 1 t ,     α < 0 ,     α > 1

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Resolva a equaçãoc) d 2 x d t 2 - 4 x = 0
Determine a solução do problema.c) d 2 y d t 2 - 2 d y d t + y = 0 ,y 0 = 1ey ' 0 = 0
Determine a solução do problema.a) d 2 x d t 2 - 9 x = 0 ,x 0 = 1ex ' 0 = - 1
Resolva a equaçãoe) d 2 x d t 2 - 3 x = 0
Resolva a equaçãon) 2 d 2 x d t 2 + d x d t - x = 0