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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 43c

Resolva os problemas de valor inicial.

(d y)/(d x) = (x + 1)/(sqrt(x)) , y (1) = 0

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente primeiro precisa encontrar a função y , pra isso, é só a gente integrar, e ficamos assim:

y = int (x + 1)/(sqrt(x)) d x

Pra facilidar a gente separar em duas integrais, só porque a gente pode 😊:

y = int (x)/(sqrt(x)) d x + int (1)/(sqrt(x)) d x

= int sqrt(x) d x + int x^(- (1)/(2)) d x

-> y = (2)/(3) x^((3)/(2)) + 2 x^((1)/(2)) + C

Simplificando pra ficar mais bonitinho:

-> y = 2 ((sqrt(x^3))/(3) + sqrt(x)) + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrar-mos o valor da constante C :

y (1) = 0 = 2 ((sqrt((1)^3))/(3) + sqrt(( 1 ))) + C

-> 0 = 2 ((4)/(3)) + C

-> C = 0 - (8)/(3) = - (8)/(3)

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

y (x) = 2 (sqrt(x^3) + sqrt(x)) - (8)/(3)

Resposta

y (x) = 2 (sqrt(x^3) + sqrt(x)) - (8)/(3)

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