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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 7

Resolva (y)/(x) (d y)/(d x) = (e^x)/(ln y) sujeito a y (1) = 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

(y)/(x) (d y)/(d x) = (e^x)/(ln y)

Ela tem muita cara de EDO separável, vamos tentar separar as variáveis...

y ln y d y = x e^x d x

Beleza! Separamos!

Passo 2

Agora a gente vai integrar os dois lados:

int y ln y d x = int x e^x d y

(1)/(2) y^2 ln y - (y^2)/(4) = x e^x - e^x + C

Multiplicando tudo por 4 pra ficar mais bonitinho...

2 y^2 ln y - y^2 - 4 x e^x + 4 e^x = c_1

Agora vamos descobrir esse c_1 aí usando a condição inicial y (1) = 1 .

Passo 3

Substituindo a condição na EDO:

2 y^2 ln y - y^2 - 4 x e^x + 4 e^x = c_1

2 (1)^2 ln 1 - (1)^2 - 4 (1) e^1 + 4 e^1 = c_1

- 1 - 4 e + 4 e = c_1

c_1 = - 1

Então a solução do nosso PVI é:

2 y^2 ln y - y^2 - 4 x e^x + 4 e^x = - 1

Resposta

2 y^2 ln y - y^2 - 4 x e^x + 4 e^x = - 1

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