Responda aos problemas 1-10 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. Em alguns casos, pode haver mais de uma resposta correta.

6. Duas soluções y1 e y₂ de y'' + y' + y = 0 são linearmente dependentes se W(y1, y2) = 0 para todo valor real de x . __________.

Passo 1

Então galera, essa é uma afirmação bastante interessante de discutirmos! Se calcularmos as raízes da equação característica dessa equação diferencial teremos:

m 1 = - 1 2 + 3 2 i

m 2 = - 1 2 - 3 2 i

Ou seja, a solução complementar é complexa. Normalmente quando aplicamos o determinante é para encontrarmos a outra parte da nossa solução, ou seja, a solução particular do problema. Se o determinante é zero então não temos soluções particulares, ou seja, teremos apenas:

y = y c + y p

y = y c

y = e - x 2 c 1 cos ⁡ 3 2 x + c 2 s e n   3 2 x

E conseguimos concluir com facilidade que existem diversas combinações entre c 1 e c 2 que possibilitam que nossas soluções sejam linearmente dependentes. Sendo assim, a resposta para nossa afirmação é: VERDADEIRO.

Resposta

Verdadeiro.

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