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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 21

Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,   ∞ .

f 1 x = 1 + x ;   f 2 x = x ;   f 3 x = x 2

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a gente tem que ver se essas três funções são linearmente dependentes ou independentes.

Como que a gente sabe?

Se existir constantes não nulas c 1 ,   c 2   e   c 3 tal que:

c 1 f 1 + c 2 f 2 + c 3 f 3 = 0

Então elas são LD. Do contrário, são LI.

Beleza?

Vamos ver isso na nossa agora...

Passo 2

Aqui nós temos as funções:

f 1 x = 1 + x ;   f 2 x = x ;   f 3 x = x 2

Olhando assim, já dá pra ver que é bem difícil que exista as constantes que a gente precisa né?

Então é bem provável que elas sejam LI. Para garantir isso, a gente pode calcular o Wronskiano. Vamos?

O Wronskiano é esse determinante aqui ó:

W =   f 1 f 2 f 3 f 1 ' f 2 ' f 3 ' f 1 ' ' f 2 ' ' f 3 ' '

Vamos calcular no nosso caso então...

Passo 3

Substituindo as nossas funções e as derivadas delas:

W =   1 + x x x 2 1 1 2 x 0 0 2

= 2

Como W ≠ 0 , temos que as funções são linearmente independentes!

Resposta

Linearmente independentes.

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