Exercícios de Wronskiano - Dependência e Independência Linear - Lista de Exercícios Resolvida

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes no intervalo

Identifique o valor de t entre os ponto s do intervalo , onde as funções são linearmente dependentes.

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Indique a única res posta correta de que torna linearmente dependentes (LD) as soluções de uma ED, onde é uma constante.

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Sejam e soluções da equação diferencial , em que são contínuas em um intervalo aberto . Então, não é solução da equação diferencial .

Verdadeiro ou falso?

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

Todas as soluções da equação diferencial

São dadas pela fórmula , onde e são constantes.

Considere a EDO não-homogênea , onde

1. Encontre a solução geral da EDO homogênea associada;
2. Encontre uma solução partícula da EDO não-homogênea; e
3. Dê a solução geral da EDO.

Considere um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio, ou seja, no orbital s do primeiro nível de energia, onde e . A probabilidade do elétron estar na região de coordenadas esféricas com , com e com é proporcional a

onde está relacionada com a equação de Legendre

e está relacionada com a equação de Laguerre

O objetivo desse exercício ´eé mostrar que as equações acima sempre possuem uma solução polinomial e qualquer outra solução não proporcional a ela possui assíntota vertical, de modo que, nesse problema, a ´única solução que possui significado físicos é a solução polinomial.

a) Verifique que, substituindo na equação de Legendre, obtemos uma equação linear homogênea de primeira ordem. Determine a solução geral dessa equação.

b) Integrando por frações parciais a solução geral obtida no item anterior, determine a solução geral da equação de Legendre. Verifique que qualquer solução não constante possui assíntotas verticais em 1 e também em .

c) Obtenha o Wronskiano da equação de Laguerre, utilizando a fórmula de Abel e verifique que é solução da equação de Laguerre.

Seja . Para resolver a equação não homogênea , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução de seja conhecida, e que não se anule no intervalo .

1. Prove que a outra solução de pode ser dada pela fórmula , onde , e é um ponto em .
2. Mostre que e são linearmente independentes em .

Dado um conjunto de funções , considere o determinante de ordem :

Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a derivadas das funções na n-ésima linha.

Sejam as funções: ; e

Determine o Wronskiano em.

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Se e , então o wronskiano é:

Escolha uma opção:

Se e , então o wronskiano é:

Escolha uma opção:

Questão 2 (Justifique todas as suas respostas):

Determine a solução geral da EDO

Sabendo que é uma solução.

Se e , então o wronskiano é:

Escolha uma opção: