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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 6

Sabe-se que y = c 1 + c 2 x 2 é uma família a dois parâmetros de soluções para x y ' ' - y ' = 0 no intervalo - ∞ ,   ∞ . Mostre que não existem constantes c 1 e c 2 para que um membro dessa família satisfaça as condições iniciais y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1 .

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão sobre família de soluções devemos observar algumas coisas, ok? A primeira delas é que a ordem da nossa equação diferencial dirá quantas constantes arbitrárias nossa solução terá.

A segunda é que devemos derivar a solução geral que nos foi dada para podermos aplicar as condições iniciais dadas para, aí sim, descobrirmos os valores das constantes. Parece complicado, né? Mas prometo que não é, saca só!

A solução que nos foi dada é:

y = c 1 + c 2 x 2

Além disso, sabemos que:

x y ' ' - y ' = 0

Então vamos encontrar y ' para aplicarmos as condições iniciais, beleza? Show!

Passo 2

Derivando nossa função, teremos:

y ' = 2 c 2 x

As condições iniciais são: y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1 . Aplicando a primeira, teremos:

y = c 1 + c 2 x 2

0 = c 1

Agora aplicando a segunda, teremos:

y ' = 2 c 2 x

1 = 0

Que é um resultado COMPLETAMENTE absurdo! No entanto, não fique apavorado com esse resultado, o enunciado queria que provássemos exatamente isso, que não existem constantes para as condições dadas.

Resposta

Demonstração.

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Sabe-se que y = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 s e nλ x é uma família de soluções para a equação diferencial y ' ' + λ 2 y = 0 . Determine os valores de parâmetro λ para os quais o problema de valor de contorno:
Encontre dois membros da família de soluções para x y ' ' - y ' = 0 dada no Problema 6, que satisfaçam as condições iniciais y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 .