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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 15

Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,   ∞ .

15. f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 ,   f 3 x = 4 x - 3 x 2

Passo 1

Então galera, para essas questões 15-22 devemos levar em consideração dois teoremas, assim como visto no capítulo em questão, que são:

“ 4.1 . Dizemos que um conjunto de funções f 1 x ,   f 2 x … f n x é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes NÃO TODAS nulas, tais que:

c 1 f 1 x + c 2 f 2 x + … + c n f 2 x = 0 ”

“ 4 . 2 . Dizemos que um conjunto de funções f 1 x ,   f 2 x … f n x é linearmente independente em um intervalo I se TODAS as constantes são nulas, tais que:

c 1 f 1 x + c 2 f 2 x + … + c n f 2 x = 0 ”

Entendo que esses teoremas parecem complicados, mas resolvendo uma questão vai facilitar a visualização e compreensão, ok? Então bora lá!

Passo 2

Temos as seguintes funções:

f 1 x = x ,   f 2 x = x 2 ,   f 3 x = 4 x - 3 x 2

E temos que ter o seguinte:

c 1 f 1 x + c 2 f 2 x + … + c n f 2 x = 0

Substituindo, teremos:

c 1 x + c 2 x 2 + c 3 4 x - 3 x 2 = 0

A pergunta que temos que fazer é a seguinte: as constantes precisam ser nulas ou não para o resultado dar 0? Se fizermos: c 1 = - 4 ,   c 2 = 3   e   c 3 = 1 , teremos:

- 4 x + 3 x 2 + 4 x - 3 x 2 = 0

0 = 0

Logo, de acordo com o que discutimos no passo 1 , temos que as funções são linearmente DEPENDENTES em - ∞ ,   ∞ .

Resposta

As funções são linearmente dependentes em - ∞ ,   ∞ .

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Se o wronskiano de f e g é t c o s t - s e n t e se u = f + 3 g , v = f - g , encontre o wronskiano de u e v .
Se o wronskiano W de f e g é 3 e 4 t e se f t = e 2 t , encontre g ( t ) .
Suponha que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções de y ' ' + p t y ' + q t y = 0 e sejam y 3 = a 1 y 1 + a 2 y 2 , y 4 = b 1 y 1 + b 2 y 2 , em que a 1 , a 2 , b 1 e b 2 são constantes
Verifique se y 1 t = t 2 e y 2 t = t - 1 são duas soluções da equação diferencial t 2 y ' ' - 2 y = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 t 2 + c 2 t - 1 também é solução essa equação quaisquer que sejam
Se W ( f , g ) é o wronskiano de f e g e se u = 2 f - g , v = f 2 g , encontre o wronskiano de u e v em função de W ( f , g ) .