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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 2

Quais das seguintes integrais é imprópria? Por que?

  1. ∫ 1 2 1 2 x - 1 d x
  2. ∫ 0 1 1 2 x - 1 d x
  3. ∫ - ∞ ∞ sen ⁡ x 1 + x 2 d x
  4. ∫ 1 2 ln ⁡ x - 1 d x

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos que indicar quais integrais dadas são impróprias.

Lembra como fazemos isso?

As integrais impróprias são integrais definidas que abrangem uma área ilimitada. Existem dois tipos principais de integrais impróprias:

Integrais com extremidades infinitas:

Nesse caso, pelo menos uma das extremidades do intervalo é estendida até o infinito.

Por exemplo, a integral imprópria ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x é uma integral desse tipo. Ela pode ser entendida como o limite:

lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 2 d x  

Quando o limite existe, dizemos que a integral é convergente; quando não existe, dizemos que é divergente.

Integrais com funções ilimitadas:

Nesse caso, a função integrada é ilimitada em pelo menos uma das extremidades do intervalo.

Por exemplo, a integral imprópria ∫ 0 1 1 x d x é uma integral desse tipo. Ela pode ser entendida como o limite:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 1 x d x  

Novamente, quando o limite existe, a integral é convergente; quando não existe, é divergente.

Agora vamos analisae cada um dos casos...

Veja só!

Passo 2

  1. Aqui foi dada a integral

    2. ∫ 1 2 1 2 x - 1 d x

    Aqui como y = 1 2 x - 1 , existe uma descontinuidade infinita em x = 1 2 pois nesse ponto o denominador zera, que não pertence ao intervalo 1,2 , assim a integral não é imprópria.

    Show?

    Passo 3

  2. Nesse item foi dada a integral

    3. ∫ 0 1 1 2 x - 1 d x

    Aqui acontece a mesma coisa que na letra (a), como y = 1 2 x - 1 , existe uma descontinuidade infinita em x = 1 2 , que pertence ao intervalo 0,2 , assim a integral é imprópria do Tipo II.

    Tranquilo até aqui?

    Passo 4

  3. Agora temos a seguinte integral

    4. ∫ - ∞ ∞ sen ⁡ x 1 + x 2 d x

    Aqui a integral é imprópria por que tem ∞ no intervalo de integração, sendo uma integral imprópria do Tipo I.

    Bacana, não é?

    Passo 5

  4. Por fim, temos a integral

∫ 1 2 ln ⁡ x - 1 d x

Aqui como y = ln ⁡ x - 1 , existe uma descontinuidade infinita em x = 1 , que pertence ao intervalo 1,2 , assim a integral é imprópria do Tipo II.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. É imprópria porque existe uma descontinuidade infinita em x = 1 2 .
  2. É imprópria porque existe uma descontinuidade infinita em x = 1 2 .
  3. É imprópria porque por que tem ∞ no intervalo de integração.
  4. É imprópria porque existe uma descontinuidade infinita em x = 1 .
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