Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 10

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^3 (d x)/(x^2 + 9)

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^3 (d x)/(x^2 + 9)

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^3 (d x)/(x^2 + 9) = underset(a -> - oo)(lim) int_a^3 (d x)/(x^2 + 9)

Passo 3

Podemos resolver essa integral através da fórmula 2 2 que se encontra na página 490 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON.

Logo:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^3 (d x)/(x^2 + 9) = underset(a -> - oo)(lim) ((1)/(3) a r c t g ((x)/(3)),[[3],[a]])

Portanto:

underset(a -> - oo)(lim) ((1)/(3) a r c t g ((x)/(3)),[[3],[a]]) = (1)/(3) [underset(a -> - oo)(lim) (a r c t g ((x)/(3)),[[3],[a]])]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_(- oo)^3 (d x)/(x^2 + 9) = (1)/(3) [underset(a -> - oo)(lim) (a r c t g (1) - a r c t g (a))] = (1)/(3) [(pi)/(4) - (- (pi)/(2))]

Logo:

int_(- oo)^3 (d x)/(x^2 + 9) = (pi)/(4)

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

int_(- oo)^3 (d x)/(x^2 + 9) = (pi)/(4)

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