Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 12

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x)

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x)

O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x) = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x)

Passo 3

Podemos resolver essa integral através do método da substituição simples com:

u = 3 - 2 e^x , t a l q u e d u = - 2 e^x d x

E:

Quando x = 0 -> u = 1

Quando x = a -> u = 3 - 2 e^a

Dessa forma, ela será reescrita como:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x) = underset(a -> - oo)(lim) int_(3 - 2 e^a)^1 (1)/(u) (- (d u)/(2))

Portanto:

underset(a -> - oo)(lim) int_(3 - 2 e^a)^1 (1)/(u) (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) [underset(a -> - oo)(l i m) (ln u,[[1],[3,-,2,e^a]])]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_(- oo)^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x) = - (1)/(2) [underset(a -> - oo)(l i m) (ln (1) - ln (3 - 2 e^a))] = - (1)/(2) [0 - ln 3]

Logo:

int_(- oo)^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x) = (1)/(2) ln 3

Como nossa integral resultou em um valor inteiro, ela converge.

Resposta

int_(- oo)^0 (e^x d x)/(3 - 2 e^x) = (1)/(2) ln 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados. Fazer o gráfico das funções dadas, verificando que os resultados encontrados são coerentes. f x = - x 2 ,
Encontrar a área sob o gráfico da curva y = (x + 1)^(- 3 // 2) , x = 15 .
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - 1 + ∞ x 1 + x 2 d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ 0 d x 2 x - 1 3
Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê. ∫ - ∞ + ∞ d x x - 1 3